Vài nét về Pierre de Fermat và định lí lớn Fermat

Bức ảnh trên được Google đưa lên để kỷ niệm ngày sinh của một luật sư, một nhà Toán học nổi tiếng với định lí nổi tiếng cũng được chỉ rỗ trên đó. Vậy người đó là ai? Xin trả lời cũng các bạn đó là Pierre de Fermat (17/08/1601-12/01/1665).



Pierre de Fermat (17/08/1601-12/01/1665)

Pierre de Fermat (17/08/1601-12/01/1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).

Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.

Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

Khi nhắc đến Pierre de Fermat người ta thường nhắc đến 2 định lí : định lí nhỏ Fertma và định lí lớn Fermat (nổi tiếng hơn cả).

A. Định lý nhỏ của Fermat (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn) : Nếu p là một số nguyên tố thì với số nguyên a bất kỳ , 
     sẽ chia hết cho p. Hay viết dưới dạng đồng dư là :  
  

Ngoài ra còn có các cách phát biểu khác của định lý như sau :
1. Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì   
 sẽ chia hết cho p.
Bằng ký hiệu đồng dư ta có :  


2. Nếu p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a lũy thừa bậc p-1 có số dư bằng 1 khi chia cho p.
Bằng ký hiệu đồng dư ta có :  


B. Định lý lớn Fermat (hay còn gọi là Định lý cuối cùng của Fermat) : Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả 
 trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Đây là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan.

Định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.

Xét phương trình Pythagore :
  
Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng :  
 và
,..Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy.
Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này : 
  và ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay không? Ông khẳng định là không.
Thực ra, ông khẳng định điều đó cho họ phương trình tổng quát : 
  trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.
Điều lý thú ở